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Der 4polige Steckder der aufs Mainboard kommt, ist für die Stormversorgung der CPU zuständig, und hat nichts mit einem evtl. vorhanden Onbord-Grafik-Chip zu tun.

Die Stecker für Grafikkarten sind 6polig.

Steck den 4pol-Stecker wieder aufs Mainboard. Drauf achten, das dieser richtig sitzt.
Durch ständigs an- und abklemmen laiern diese oft völlig aus.
Klemm dann bis auf die Festpaltte mit dem System alle anderen Laufwerke (weitere HDDs, Brenner, usw.) und evtl. vorhandene Beleuchtung ab.
Wenn Gehäuselüfter vorhanden sind, diese auch MAL abklemmen.

Wenn dann alles läuft, bekommt das System mit allen Komponenten nicht genügend Saft, und ein stärkeres Netzteil muss her.

Poste aber bitte MAL deine Systemkomponenten, also Mainboard, CPU, Graka, HDDs.
Wieviele Gehäuselüfter sind verbaut. Beleuchtung vorhanden, usw.

Die Pentium 4 Reihe braucht den 4polig 12V Stecker auf jeden Fall.

Wenn du den Rechner einschaltest, hat es nur den Anschein, das alles läuft.
Die Festplatten drehen sich, sobald Strom ankommt, für DVD-Laufwerke gilt das gleiche.

Da die CPU keinen Strom bekommt, solange der 4pol Stecker ab ist, kann das Bios des MBs keine CPU erkennen und hört an dieser stelle aufzu arbeiten. Sprich, das Bios "hängt sich auf".

Du hast ja gesagt, das alte Netzteil wäre ein 450 Watt Modell gewesen, und das zum testen ein 350 Watt Modell.
Könnte sein, das die 350 Watt Gesamtleistung nicht ausreichen, je nachdem, was alles mit Strom versorgt werden mus.
Oder auf den einzelnen Leitungen liegt zu wenig Saft an.
Es kommt nicht immer unbedingt auf die Gesamtleistung des NTs an, sonderen darauf, was an den einzelnen Leitungen an Saft rauskommt.

Guck MAL, ob du noch ein anderes Netzteil zum testen bekommst, welches mehr Saft auf den den einzelnen Leitungen hat, als das 350 Watt NT.